بررسی مسائل حل شده و حل نشده در ریاضیات

آقای دکتر، زمانی که خیام و ریاضیات این دو عنوان را در کنار هم میگذاریم به مثلث پاسکال خیام میرسیم

بله مثلث خیام یکی از مسائلی است که بچه ها در دوران دبیرستان با آن آشنا میشوند و کاربردهای فراوانی دارد و مساله های جالب زیادی راجع به آن وجود دارد و البته در مورد آن مساله هایی وجود دارد که هنوز حل نشده است.

میشود به طور خلاصه بگویید مثلث پاسکال خیام چیست؟

مثلثی است که یک سری عدد در آن نوشته میشود و قانون نوشتن اعداد این است که دو عدد بالایی را جمع کرده و در زیر آن مینویسیم و فقط به این شکل می شود مثلث را درست کرد اما کاربردهای زیادی دارد به طور مثال ضرایب بسط دو جمله ای را مشخص میکند.

با شما راجع به حافظ و ریاضیات صحبت کردیم و شما نگاهی به اشعار حافظ انداختید و یعنی از منظر یک  ریاضیدان به اشعار نگاهی انداختید. تا به حال شده که به رباعیات خیام از دید یک ریاضیدان نگاه کنید؟

خیلی اشعار خیام را مطالعه نکرده ام.

به سراغ مسائلی که شما سعی میکنید با معادلات ریاضی و قواعدی که در دنیای به ظاهر پیچیده و البته جذاب  آن را حل کنید، برویم.ما همیشه به مسائل حل شده پرداخته ایم و گفتیم که چطور مسائل را حل میکنند اما در ریاضیات با مسائل حل نشده یا غیر قابل حل مواجه هستیم این دو را باید از هم تفکیک کنیم می شود راجع به این ها توضیح دهید.

بله با هم فرق دارند. فرض کنید یک جعبه خالی داریم که میخواهیم در آن ریاضیات را قرار دهیم یعنی من و شما چیزی راجع به ریاضی نمیدانیم و با گذاشتن یک چیزی داخل این جعبه میخواهیم یاد گرفتن ریاضی را شروع کنیم. فکر میکنید اولین چیزی که داخل جعبه باید قرار بدهیم چیست؟

احتمالا اعداد است.

بعضی ها معتقد هستند که اول باید اعداد را قرار دهیم به این دلیل که بخواهیم سوال ریاضی مطرح کنیم اگر عدد نداشته باشیم نمیتوان چیزی در مورد ریاضی بگوییم ولی بستگی دارد که شما سوال را راجع به اعداد مطرح کنید یا راجع به هندسه و یا خط و نقطه را تعریف کنید. مثلا اگر در مورد مجموعه ها بگویید باید بدانید که مجموعه چیست و اعمال بین مجموعه ها چیست و اگر بخواهید در مورد منطق صحبت کنید باید بدانید چه جملاتی را اجازه داریم داخل این جعبه قرار دهیم که به آن گذاره میگویند. بنابراین بستگی دارد که شما چه استفاده ای از این جعبه میخواهید بکنید بنابراین اولین چیزی که در جعبه قرار میدهیم متفاوت است.

شما چه چیزی قرار میدهید؟

بستگی دارد کسی که میخواهد از آن استفاده کند در چه زمینه ای از ریاضی به آن نیاز دارد.

چرا باید داخل جعبه این لوازم را قرار دهیم مگر تمام اینها درهم نیستند؟

شما میتوانید شروع به ساخت دستگاهی کنید و با آن دستگاه ریاضیاتی را درست کنید و از آن ریاضیات استفاده هایی را ببرید مثلا امکان دارد استفاده ای که یک مهندس از ریاضیات دارد با استفاده ای که یک منطق دان و یک فیلسوف از ریاضی دارد با هم متفاوت داشته باشد.

مگر فیلسوف ها هم از ریاضی استفاده می کنند؟

بله مثال های بسیار خوبی در فلسفه وجود دارد که برای جواب دادن به بعضی سوالات فلسفی میتوان از مثال های ریاضی استفاده کرد.

میشود مثالی از آن را بگویید؟

فرض کنید زمانی که هندسه ی اولسی و ناولسی تعریف می شود که همان مثلثی است که مجوع زوایای آن 180 درجه نیست، امکان دارد یک سوال فلسفی ایجاد شود که درست چیست؟ آیا درست مطلق وجود دارد؟ آیا میتوانیم  به طور مطلق بگوییم که مجموع زوایای تمام مثلث ها 180 درجه است یا خیر؟

در اینجا ریاضیات چه میگوید؟

بستگی دارد شما آن جعبه فوق ذکر را چگونه شروع کنید؟ اگر دستگاه شما طوری باشد که مثلا هندسه ی اولوسی را بپذیرید زوایای مثلا مثلثات 180 درجه میشود و اگر چیز دیگری را بپذیرد جواب چیز دیگری میشود. اولین چیزی که باید داخل آن جعبه قرار دهیم عدد و شکل و مجموعه نیست اولین چیز مفهوم اولیه است و حالا آن مفهوم اولیه میتواند عدد باشد و سوالات مربوط به اعداد پیش می آید.

دیدگاه شما علم و دانش ریاضی را ناپایدار نمیکند؟

بستگی دارد که چطور نگاه میکنید؟ یک شالوده ای اصلی برای ریاضی وجود دارد چند چیز اصلی دیگر است. مثل مجموعه اصلی است که بر اساس آن توابع حاصل میشود، گذاره ها مهم هستند که شما اجازه داده اید چه جمله هایی در این جعبه جای گیرد بنابراین باید اولین چیزی که در آن قرار میدهید مفهوم اولیه باشد حال سوال این است که مفهوم اولیه چیست؟ فرض کنید درکی نسبت به این که چه مفاهیمی قرار دهیم داریم برای مثال با هم توافق میکنیم که راجع به اعداد با هم صحبت کنیم و قدم بعدی بدین گونه است زمانی که مفهوم اولیه را قرار میدهیم صورت سوالی که بیان میشود را متوجه میشوید مثلا اگر در هندسه خط و نقطه و موازی بودن بیان شود میتوان این سوال را پرسید که یک خط و یک نقطه خارج خط داریم آیا یک خط به موازات آن میشود رسم کرد یا بیشتر؟ شاید نتوانید به این سوال پاسخ دهید به این دلیل که ابزاری به جواب دادن لازم است زیرا برای پاسخ به این سوال باید به چیزهایی استناد کنید و چیزهایی که به آن میشود استناد کرد اصول اولیه است.

پس در آن جعبه به اصول نیاز داریم.

بله به غیر از مفاهیم اولیه به اصول اولیه هم نیاز داریم و بعد از پذیرفتن اصول اولیه باید روش های نتیجه گیری را هم بپذیریم یعنی اینکه شما یک اصل اولیه دارید که آن را a نامگذاری میکنیم و یک حکم که آن هم b نامگذاری میکنیم و میخواهید مسیری را طی کنید تا از a به b برسید و آن مسیر را توسط روش های نتیجه گیری میتوانیم طی کنیم. حال سوالی که پیش می آید این است که ما یک مفهوم اولیه را قرار میدهیم و یک جمله ای را هم داخل جعبه میگذاریم و میدانیم که منظور از اصل اولیه این است که بدون دلیل قبول داریم که آن مفهوم صحیح است. مثلا فرض کنید که بدون دلیل قبول داریم که اگر 10 عدد جعبه داشته باشیم و بخواهیم 11 توپ را به طوری که در هر جعبه فقط یک توپ باشد تقسیم کنیم یک توپ اضافه می آید و باید در یک جعبه 2 توپ باشد شاید برای این نتوان دلیل آورد و باید به عنوان یک اصل اولیه آن را بپذیریم. زمانی که با یک جمله ای برخورد میکنیم که نمیتوانیم دلیلی برای آن بیاوریم زیرا بسیار ساده است. آیا میتوانیم اثبات کنیم که قابل اثبات نیست و این مساله ی وزین تری نسبت به سوال شما میشود. سوالی که شما ابتدای بحث پرسیدین سوالاتی است که قبلا حل شده است و سوالاتی وجود دارد که حل نشده است و امکان دارد که ما تا به حال نتوانسته ایم آنها را حل کنیم و باید دانش بشر پیشرفت کند تا آن را حل کنید امکان دارد بتوانیم اثبات کنیم که کسی نمیتواند این سوالات را حل کند.

پس این گونه دوم مسائل است؟

گونه  دوم هم دو نوع دارد. ممکن است من به شما بگویم آیا میتوانید ثابت کنید که 2* 2=5 میشود و شما در پاسخ میگویید نه نمیتوانم اثبات کنم به این دلیل که اثبات میکنم که 2 *2=4 میشود و میدانم که 4 با 5 تفاوت دارد. اما جملات و گذاره هایی وجود دارد که شما نمیتوانید آن را اثبات یا رد کنید و در حقیقت اثبات ناپذیر و ابطال نا پذیر هستند. اینکه بشر توانسته به مرحله ای از تفکر برسد که بتواند اثبات کند که یک چیزی را نمیتوان اثبات یا رد کرد قدم بزرگی است زیرا جعبه ی ما محکم میشود ولی نمیتوانیم بگوییم یک جعبه ی خالی به نام ریاضیات داریم و یک سری مفاهیم اولیه در آن قرار میدهیم و یک سری از چیزها را قبول میکنیم به این دلیل که نتوانسته ایم آن را اثبات و یا رد کنیم. شاید به این دلیل که دانش کمی راجع به آن داریم. ریاضیدان ها اثبات کرده اند اثبات ناپذیر یا ابطال ناپذیر است بنابر این مسائلی وجود دارد که میتوانیم صحت و نادرستی آن را بپذیریم از جمله آنکه در هندسه میتوانیم بپذیریم که یک نقطه در خارج خط فقط یک خط به موازات آن رسم میشود و میتوانیم بپذیریم که از یک نقطه ی خارج از خط خطی به موازات آن نمیتوان رسم کرد و همچنین میتوانیم بپذیریم که از یک نقطه ی خارج از خط بیش از یک خط به موازات آن میتوان رسم کرد و حالا 3 هندسه متفاوت به وجود می آید.

کدام یک از این هندسه ها صحیح است؟

درست بودن موجه نیست نمیتوان گفت که درست است یا خیر. امکان دارد هر 3 درست باشد. زمانی که شما با شخصی که در آن سوی کره ی زمین است صحبت میکنید و به او شب بخیر میگویید و او صبح بخیر میگوید حالا کدام صحیح است؟

سعی میکنم با شما موافق باشم به این دلیل که پذیرش علمی که  روش های متفاوت با نتایج متفاوت دارد پس حقیقت چیست؟ ریاضیات چه کمکی به ما میکند؟

این همان سوالی است که در فلسفه بوجود می آید زمانی که شما سوال فلسفی دارید که حقیقت چیست؟ و امکان دارد که این جواب وجود داشته باشد که در بعضی از موارد حقیقت منحصر به فرد نیست از جمله مثالی که در مورد روز و شب مطرح شد که حقیقت من که در اینجا زندگی میکنم با حقیقت شخصی که آن سوی کره ی زمین زندگی میکند متفاوت است بنابراین حقیقت ثابتی وجود ندارد.

آیا امکان دارد با این فرض مثلا قوانین فیزیک که در یک جا حاکم است در جای دیگر حاکم نباشد؟

بله این اتفاقی است که در فیزیک رخ میدهد. فیزیک نیوتن و فیزیک نسبت هر کدام با هم تفاوت دارند از دیدگاه داخل اتمی همه چیز تغییر میکند.

این چه علمی است که در توصیف و توضیح جهان به مطلق گرایی حاکم نمیرسد که یک نتیجه ی قطعی را ارائه دهد؟

شاید این ضعف علم نباشد شاید ضعف حقیقت است که مطلق نیست.

این ضعف محسوب میشود؟

اگر نظر بر این است که اتفاقی که رخ میدهد خوب است باید جالب باشد که اتفاقاتی در دنیا وجود دارد که حقیقت مطلقی برای آنها وجود ندارد. علم از یک دیدگاهی یک جواب برای آن می یابد مثلا اینکه در فوتبال توپ را که شوت میکنند و از دروازه رد میشود و اگر بخواهیم داوری هوشمند صورت گیرد و آن دستگاه برای تشخیص اینکه توپ رد شده است یا نه آیا باید تعداد اتم های آن طرف خط حداقل باید یکی بیشتر از اتم های این طرف خط باشد خیر این دیدگاه مناسب این کار نیست اما در یک دیدگاه اتمی که مورد بررسی قرار میگیرد حتی یک اتم هم تاثیر بسزایی دارد بنابراین مساله این است که شما از چه زاویه ای به مساله نگاه میکنید.

آیا مانند دانش های دیگر قرار است ریاضیات یکی از ابزارهایی برای زندگی کردن باشد؟

تصور شما از زندگی چیست؟ زندگی این است که شما ماشینی درست کنید زمانی که به چراغ قرمز میرسد توقف کنید. در طلا فروشی یک ترازوی بسیار دقیق نیاز است که در میوه فروشی به آن اندازه دقت نیاز نیست. به نظر می آید که به نیاز ما بستگی دارد.

یعنی ما با مسائلی روبرو هستیم که میدانیم غیر قابل حل است و با پیشرفت دانش در آن تاثیری رخ نمیدهد.

غیر قابل حل صحیح نیست غیر قابل اثبات و غیر قابل ابطال است. در دانش تئوری گذاره هایی وجود دارد که ممکن است بپرسید آیا فردی که از طبقه ی 100 به پایین بیفتد میمیرد یا خیر؟ یک پاسخی برای این سوال وجود دارد اما امکان دارد گذاره های فکری در اندیشه بشر وجود داشته باشد که برای جواب دادن به آنها بستگی دارد با چه دستگاهی به آن فکر کند و چه اصولی را برای جواب دادن به آنها پذیرفته باشد صدق دیگر آن این است که دانش آموزانی وجود دارند که میخواهند در ریاضی یک کار جدید انجام دهند و آنها اینقدر جزئی به مساله نگاه نمیکنند چیزی که برای دانش آموزان اهمیت دارد این که سوالاتی در ریاضی وجود دارد که یک مساله ی محاسباتی حل نشده ولی اثبات شده است که کسی نمیتواند آن را حل کند و حالا نباید به سراغ آن سوالات برود مثلا سوالی که از دیر باز وجود داشته این است که آیا میشود با خط کش و پرگار یک زاویه را به 3 قسمت تقسیم کرد؟ افراد بسیاری سعی میکنند که این کار را انجام دهند چون بر این باورند که تکنیکی وجود دارد که هنوز به ذهن کسی نرسیده که چکار کند و از سوی دیگر ریاضیدان ها ی دیگر اثبات کرده اند که این کار امکان پذیر نیست پس کسی نباید به سراغ آن برود. زمانی که سوالی حل ناپذیر بودن آن اثبات شده است کسی نباید به آن فکر کند و اینجا خطرناک است که کسی به سراغ این سوالات برود.

اشکال آن در چیست؟

اشکال آن این است که اثبات شده است.

از کجا معلوم است که درست همان قدر که قانون شما ابطال میکند امکان دارد قانون دیگری آن را تایید کند؟

ریاضیاتی را پذیرفته ایم که آن را در مدارس تدریس میکنیم. ریاضیاتی که در مدرسه تدریس میکنیم یک چیز مشخصی است و آن چیزی در مدرسه میگوییم با استفاده از خط کش و پرگار و بدون ابزار اضافی نمیشود زاویه را به 3 قسمت تقسیم کرد. اگر کسی به این مساله فکر کند در حدی است که یک اصطلاح بین ریاضیدانان است که میگویند فلانی تخصیص کرده و میخواهد زاویه را 3 قسمت کند و نمیداند که نمیشود این کار را انجام دهد.

گاهی اوقات ما هم پیامک هایی دریافت میکنیم که نظریات جدید در ذهن برخی از افراد ساخته شده است.

نظریات جدید خوب است زمانی که موبایل وجود نداشت ممکن بود کسی ایده ی ساخت آن را داشت و کسی اثبات نکرده بود که نمیشود اما زمانی که کسی اثبات کرده است که نمیشود آن را انجام داد دیگر نباید به سراغ آن رفت.

خیلی ممنونم از این که پنجره ی جدیدی رو به ریاضی برای ما باز کردید که نه تنها ذهن ما را منظم نکرد بلکه با این مسائل مغشوش کردید. با استفاده از راه حل هایی که همه درست هستند ولی میتوانند نقض کننده ی سر منشاء خودشان باشند و هدف ما هم این است که بعد از برنامه کلی سوال در ذهن ها ایجاد شود. چون امروز روز حکیم عمر خیام است و میراثی از یک ریاضیدان در ذهن شما باقی مانده است .خیام جنبه های مختلفی دارد چه طور میشود یک فرد شاعر باشد و رباعیات حیرت انگیزی از خود به جا گذارد ضمن رمانتیک بودن ذهن استنتاج گر یک ریاضیدان هم داشته باشد به نظر میرسد شما به عنوان یک ریاضیدان خیلی خطوطتان نرم نیست بلکه خطوطتان زاویه دار است شاید ریاضی هم رمانتیک باشد. شما رمانیک هستید؟ اهل احساسات هستید؟

بله احساساتی هستم. اینکه چطور میشود این دو مقوله ی دور از هم را کنار هم داشته باشد به نظر من وجه مشترکی بین این دوتا وجود دارد یعنی نظمی که در ادبیات وجود دارد وخلاقیتی که در کنار هم گذاشتن کلمه ها است چیزهایی است که با ریاضیات وجه اشتراک دارد و در قدیم مساله ی کسب دانش با الان فرق داشته است یعنی حجم دانش الان به قدری زیاد شده که ممکن است در عمر اندک فرد فرصتی نداشته باشد که دانش های مختلف را کسب کند ولی در زمان ابوعلی سینا انجام پذیر بوده است.

No tags for this post.