میرزاخانی؛ بانوی پارسی سطوح فرضی ریاضیات

دکتر ایمان افتخاری و دکتر میثم نصیری از اعضای پژوهشكده رياضيات پژوهشگاه دانش‌های بنیادی (IPM) و از محققان فعال در دنياي رياضيات به شمار مي روند.

دکتر افتخاری دارنده دو مدال طلای المپیاد جهانی دانش آموزی ریاضی است که دوره دکتری خود را در دانشگاه پرینستون گذراند و پس از سه سال تدریس در دانشگاه هاروارد از سال ۱۳۸۶ به کشور بازگشت و تاکنون  پژوهشگر وعضو هیات علمی پژوهشگاه دانش‌های بنیادی است.

دکتر میثم نصیری نیز پس از گذراندن دوره‌های کارشناسی  و کارشناسی ارشد در دانشگاه‌های صنعتی امیرکبیر و  صنعتی شریف دوره دکتری خود را در مؤسسه ریاضیات IMPA در برزیل گذراند و پس از یک دوره پسا دکتری در همان مؤسسه به کشور بازگشت و از سال ۱۳۸۹ تاکنون پژوهشگر و عضو هیات علمی پژوهشگاه دانش‌های بنیادی است.

جایزه فیلدز در جامعه علمی چقدر دارای اهمیت است؟

دکتر افتخاری:جایزه فیلدز به زعم بسیاری از ریاضیدانان مهمترین جایزه رشته ریاضیات است که از سال 1936 هر چهار سال یک بار به چهار ریاضیدان برجسته اهدا مي شود. البته در برخی از سالها به کمتر از چهار نفر نیز اعطا شده است. به عنوان مثال در بین سالهای 1936 تا 1962 و در سالهای 1974 و 2002 تنها دو نفر موفق به کسب این جایزه شدند. کاندیداها باید زیر ۴۰ سال داشته و تحقیقاتشان در ریاضیات بسیار مهم و تاثیرگذار باشد.در مجموع تاکنون ۵۶ نفر به این افتخار نایل شده‌اند.

نگاهی به  فهرست دریافت کنندگان جایزه فیلدز نشان می‌دهد که تمامی افرادی که موفق به کسب این جایزه شده‌اند در ریاضیات سرشناس بوده و تحقیقات بسیار مهمی انجام داده اند و اثر قدم‌هایی که توسط این افراد در ریاضیات برداشته شده است، امروز هم ديده مي شود و گذر زمان اهمیت تحقیقات آنها را کم نکرده است. شاید بتوان ادعا کرد  که با بزرگ‌کردن فهرست ۵۶نفره یاد‌شده به فهرستی ۱۰۰نفره، رهبران اصلی ریاضیات را در ۸۰ سال گذشته، نام برده‌ایم.

دکتر نصیری:برای جوامع ریاضی‌ مهم است که افرادی در زمره برندگان فیلدز داشته باشند. در طی سالهای اعطای جایزه در مجموع تاکنون 20 کشور بوده اند كه حداقل یک نفر با ملیت آن کشورها موفق به دریافت جایزه فیلدز شده است. اما بیشترین برندگان فیلدز از چهار ملیت آمریکا، انگلیس، فرانسه و روسیه بوده‌اند.

در میان برندگان جایزه فیلدز با ملیت کشورهای در حال توسعه، تا قبل از این دوره تنها یک نفر با ملیت ویتنامی (و با تابعیت فرانسوی) موفق به کسب مدال فیلدز شده بود که البته تمام تحصیلات دانشگاهی‌اش را در فرانسه انجام داده بود. اما کسی که علاوه بر دارا بودن ملیت کشورهای در حال توسعه، تحصیلاتش را هم تا مدتی- حداقل لیسانس-  در کشور خود بوده باشد تنها در این دوره مشاهده می‌شود که یکی خانم میرزاخانی است که دوره کارشناسی ریاضی را در سال ۱۳۷۸ در دانشگاه صنعتی شریف به اتمام رسانده است و دیگری آرتور آویلا برگزیده برزیلی (البته با تابعیت دوگانه فرانسوی) که تمام تحصیلات‌اش را در برزیل انجام داده است.

نکته قابل توجه این است که تا قبل از این دوره هیچ زنی این جایزه را دریافت نکرده و دکتر مریم میرزاخانی تنها زنی است که موفق به کسب مدال فیلدز شده است. این موضوع پررنگ‌ترین جنبه‌ای بود که طی هفته‌های گذشته رسانه‌های بین‌المللی به آن پرداختند.

آیا این موضوع صحت دارد که دکتر میرزاخانی یکی از کاندیداهای دریافت جایزه فیلدز سال 2010 بوده است؟

دکتر افتخاری:در سال  ۲۰۱۰ هم این مطلب شنیده می‌شد. به ویژه که ایشان یکی از سخنرانان مدعو کنگره بین المللی ریاضی در سال 2010 در حیدرآباد هند هم بودند و معمولا ریاضیدانانی که زیر ۴۰ سال سن دارند و برای سخنرانی به کنگره دعوت می‌شوند، نیم نگاهی به کاندیدا بودن آنها هم وجود دارد؛ اما تحقیقات دو سال پیش ایشان در حوزه سیستم‌های دینامیکی که در ارتباط با تحقیقات تز دکتریشان نیز بود- در کنار رساله دکتری‌ ایشان- نهایتا جایزه فیلدز 2014 را به ارمغان آورد. البته باید تاكید كنم كه رساله دکتری خانم میرزاخانی از این جهت که در سن بیست و چند سالگی با این کیفیت بالا و با میزان بالای نوآوری در راه حل‌ها انجام شده بود جایگاه بسیار بالایی دارد.

دکتر نصیری:در تایید این مطلب، اگر به بیانیه IMU درباره دستاوردهای ایشان برای اعطای نشان فیلدز توجه کنیم به سه کار شاخص اشاره شده است که دوتای آنها قبل از سال ۲۰۱۰ انجام و منتشر شده است.

همانطور که اشاره کردید تز دکتری دکتر میرزاخانی آغاز راه تحقیقاتی ایشان بوده است، درباره این تحقیقات توضیح دهید؟

دکتر افتخاری:پایان نامه دکتری خانم میرزاخانی با موضوع «شمردن خم‌های بسته روی رویه‌های دارای ساختار هذلولوی» انجام شد و در این‌باره از مسئله‌ای که خودشان همیشه از آن شروع می‌کنند آغاز می‌کنم:

یک صفحه بیلیارد را در نظر بگیرید که یک نفر توپی را با زاویه‌ای به یکی از اضلاع این صفحه مستطیلی شکل می‌زند. قوانین فیزیک می‌گویند که این توپ با همان زاویه ای که به دیواره برخورد کرده است در جهت متقارن منعکس شده و مسیر خود را ادامه می‌دهد. با فرض اینکه هیچ اصطکاکی وجود ندارد این توپ به دفعات به دیواره‌ها برخورد کرده و منعکس می‌شود. در این صورت اتفاقات متعددی ممكن است رخ دهد؛ یکی اینکه ممکن است پس از چند بار برخورد و منعکس شدن توپ به جای اول خود برگردد و اتفاق دیگری كه ممكن است رخ دهد این است که پس از هر بار چرخیدن در این صفحه از یک نقطه جدید بگذرد و به تدریج مسیرش آنقدر تنوع پیدا کند که در داخل صفحه توپ از هر ناحیه دلخواه كوچكی نهایتا عبور كند.

این دو اتفاق رخدادهایی هستند که در بسیاری از سیستم‌های دینامیکی اتفاق‌های مهمی تلقی می‌شوند.

بررسی مساله بیلیارد برای یك صفحه مستطیل شكل نسبتا ساده است و از صدها سال پیش به این سوال پرداخته شده است که توپ در این صفحات کی به جای اول خود برمی‌گردد و چه زمان اتفاقات دیگری می‌افتد.

حال اگر به جای این صفحه منظم مستطیل شكل همین سوال را در مورد صفحه‌ای بپرسیم كه به شكل  یک  چند ضلعی دلخواه است پاسخ دادن به سوالات مربوط به کیفیت چرخیدن توپ بیلیارد در صفحه خیلی مشکل می‌شود و با موضوعات عمیقی در ریاضیات ارتباط پیدا می‌کند.

به طور خاص این مسئله – كه به مسئله بیلیارد معروف است –  به این موضوع تبدیل می‌شود که یک رویه‌ای داده شده است، مانند سطح یک گلدان با چندین دسته (یا تعدادی دونات به هم چسبیده)؛  و به دنبال بررسی این موضوع هستیم كه چه مسیرهای بسته‌ای طول مینیمالی دارند (یعنی مسیرهایی که با تغییرات جزیی نتوان طول آن‌ها را کمتر کرد)، و از جمله علاقمندیم به یك معنی تعداد چنین مسیرهایی را بشماریم.

فعالیت علمی ایشان که منجر به دریافت نشان فیلدز شد هم در تز دکتری و هم در کار اخیرشان به مسئله شمارش چنین خم‌های کوتاهی روی سطح رویه‌ها ارتباط دارد. به عبارت دیگر شما یک میز چند ضلعی بیلیارد دارید و به دنبال شناخت بهتر وضعیت‌هایی هستید که وقتی توپ را با آن وضعیت در داخل صفحه بیلیارد شلیک می‌کنید بعد از چند بار برخورد به دیواره‌ها توپ به جای اول بر می‌گردد. شاید بیش از صدسال است ریاضیدانان درباره این مساله مطالعاتی داشته‌اند. اما تحقیقات دکتر میرزاخانی جزء اولین تحقیقاتی است که به یك معنی در مورد همه میزهای بیلیارد می‌تواند نتایجی را ارایه كند. لازم است تاکید شود که در مطالعه سیستم‌های دینامیکی به سادگی نمی‌توان درباره همهوضعیت‌ها سخن گفت. لذا  معمولاً درباره اکثر وضعیت‌ها (یا وضعیت كلی) گزاره‌هایی اثبات می‌شود. در واقع از نظر تکنیکی تفاوت این دو بسیار زیاد است و اثبات گزاره‌ای درباره «همه» وضعیت‌ها بسیار مشکل‌تر است. خانم میرزاخانی از آن قضیه‌هایی اثبات کرده‌اند که درباره همه وضعیت‌ها صادق است.

مسیر رساله دکتری و تحقیقات اخیر خانم میرزاخانی – با وجود شباهت‌هایی كه به آن اشاره شد – از یكدیگر متفاوت هستند و نوع ریاضیاتی که توسط ایشان استفاده و توسعه داده می‌شود به گونه‌ای است كه نیاز به تولید ابزارهای خاصی دارد و باید برخی از نظریه‌هایی كه قبل از كار ایشان موجود و متداول بودند توسعه می‌یافتند و محاسبات دشواری درباره هر مسئله انجام  می‌شد.

درباره کاربرد تحقیقات دکتر میرزاخانی و اینکه ارتباط این تحقیقات با سایر علوم در چیست توضیح دهید؟

دکتر افتخاری:پاسخ به این سوال احتیاج به تصحیح تصور ما نسبت به وضعیت علوم دارد و تصحیح تصوری كه در اذهان عموم مردم درباره اندازه ریاضیات فعلی وجود دارد و همچنین تصحیح تصور ما در مورد مرز بین علوم  مختلف.

اولین تصحیحی که باید در اذهان عموم مردم رخ دهد این است که اندازه علم خیلی بزرگ شده و به تبع آن نقش یک فرد خاص و حیطه تاثیرگذاری او بر روند رشد علم- در مقایسه با اندازه علم- خیلی کوچک شده است. از سوی دیگر فاصله ای که بین ریاضیات نظری و کاربردهای ریاضیات وجود دارد خیلی زیاد است به عبارت دیگر فاصله بین مرکز ریاضیات تا مرزهای ریاضیات که در تعامل با سایر علوم و رشته‌ها قرار دارد به تبع بزرگ شدن اندازه ریاضیات زیاد شده است.

از منظر ریاضیدانان رویدادهایی که در قلب ریاضی رخ می‌دهند- هرچند به ظاهر از كاربرد دور باشند-  از اهمیت بالایی برخوردارند چراکه این رویدادها بعدها منشا اتفاقات زنجیره‌ای در ریاضیات می‌شوند که وقتی به مرزهای ریاضیات می‌رسند تاثیرات بیرونی آنها مشخص می‌شود. البته ممکن است برای مشاهده این تاثیرات بیرونی سالهای زیادی زمان نیاز باشد.

با توجه به این مقدمه، تحقیقات دکتر میرزاخانی در ظاهر در قلب ریاضیات قرار دارد و احتمالا با هدف نزدیک شدن به مرزهای ریاضی هم صورت نگرفته است. با این وجود در نهایت یکی از نتایج این تحقیقات، اثبات بدیعی از حدس ویتن در مورد فضای زمینه سطوح ریمانی به دست می‌دهند.

ادوارد ویتن یک حدسی دارد که از منظر فیزیک یک مشاهده و ادعای محکم است. اما وقتی برای اولین بار در ریاضی مطرح شد مبانی ریاضی كافی برای اثبات نظری آن وجود نداشت. در نهایت فردی به نام «ماکسیم کونتسویچ»  علاوه بر نقشی كه در پی ریزی ریاضیات مربوط به چنین ادعاهای فیزیكی ایفا كرد حدس ویتن را هم ثابت کرد و در سال 1998 به خاطر این دستاوردها نشان فیلدز را دریافت کرد.

کار اول دکتر میرزاخانی – با یک روش کاملا مستقل و به نظر من بسیار زیباتر- یک اثبات متفاوتی از حدس ویتن هم ارائه می‌كند و به این معنی ارتباط قابل توجهی با فیزیک نظری دارد. البته در استفاده از تعبیر "قابل توجه" در مورد میزان ارتباطی كه به آن اشاره شد همیشه می‌توان مناقشه كرد.

به بیانی نیمه علمی نظریه ریسمان ادعا می‌كند كه در دنیای ما – علاوه بر چهار بعد مایکروسکوپیک –  در ذات ذرات یک دنیای شش بعدی اضافه‌ای هم وجود دارد و این ذرات به جای اینکه تنها نقاطی باشند که در این فضای ملموس چهاربعدی زندگی می‌كنند و تغییر شکل می‌دهند حلقه‌هایی هستند که در آن دنیای شش بعدی هم زندگی می‌کنند. اگر از ابعاد مایکروسکوپیک فضا صرف نظر شود ذرات، رویه‌هایی را توصیف می‌کنند که از متولد شدن، تجزیه، تركیب و از بین رفتن آنها ساخته می‌شوند. به این ترتیب این مسیر منجر به بدست آمدن رویه‌هایی می‌شوند که دکتر میرزاخانی در تحقیقاتشان به آنها علاقمندند –  رویه‌هایی شبیه دونات‌ها و یا تویوپ ماشین ولی احتمالا با تعداد بیشتری حفره. از این منظر و به یک معنی، بررسی کردن حالت‌های هندسی که برای سطوح انرژی مختلف در وضعیت خلاء متصور است با مسائلی که تحقیقات خانم دكتر میرزاخانی به آن می‌پردازد مرتبط است. اثبات دکتر میرزاخانی از حدس ویتن فوق‌العاده طبیعی است و در این سال‌ها که کارهای مختلف ریاضی و از جمله كارهای برخی از ریاضیدانان معروف را مطالعه كرده‌ام، مقالات دکتر میرزاخانی از زیباترین مقالاتی بوده است که تاکنون مشاهده کرده‌ام.

تفاوت جایزه فیلدز با جایزه آبل که به نوعی مشابه جایزه نوبل است چیست؟

دکتر افتخاری:جایزه فیلدز چون در جوانی به افراد اعطا می‌شود، طبعاً همه اتفاقات مهم ریاضی را پوشش نمی‌دهد چراکه اهمیت و تاثیر بعضی از دست‌آوردهای بزرگ بعدها روشن می‌شود و یا افرادی (از جمله برندگان فیلدز) هستند که بعد از چهل سالگی تحقیقات بسیار مهمی انجام داده‌اند. دست‌اندرکاران جایزه آبل قصد دارند روند اعطای آن را مانند جایزه نوبل کنند.

دکترنصیری:در جایزه فیلدز قصد اصلی این است که تحقیقاتی انتخاب شوند كه در زمان خود یک جهش محسوب می‌شود و علاوه بر اهمیت، پتانسیل اثرگذاری بالا در ریاضیات آینده را دارا باشد. اما جایزه آبل سال‌ها پس از انجام کار تحقیقاتی و پس از آنکه تاثیراتش محقق شد اعطا می‌شود، و از اینرو در سنین بالا (۷۰-۸۰ سالگی) اعطا می‌شود.

معمولا بهترین دانشگاه‌های دنیا با رصد دانشجویان خوب دانشگاه‌های دیگر پیشنهادهای جذب را به آنها می‌دهند. آیا در ایران هم چنین وضعیتی حاکم است؟

دکتر افتخاری:متاسفانه دانشگاه‌های ایران چندان به دنبال شکار فرصت‌های این چنینی نیستند. پژوهشگاه دانش‌های بنیادی جزء معدود مراکزی است که با رصد فارغ التحصیلان ایرانی دانشگاه‌های ایران و خارج از کشور تا حدودی سعی در ترغیب آنها به ملحق شدن به این مركز داشته است. بر خلاف تبلیغات موجود که نخبگان کشور به ایران باز نمی‌گردند تجربه من اینگونه بوده است كه چنانچه پیشنهادهای مناسبی از سوی مراکز علمی ایران به نخبگان ایرانی ارائه شوند، همیشه تعدادی از ایشان علاقمند به فعالیت در ایران هستند، و همین افراد می‌توانند وضعیت پژوهشی كشور را به میزان قابل توجهی بهبود ببخشند.

به عنوان مثال در چند سال گذشته چند نفر از فارغ التحصیلان خوب دانشگاه‌های تراز اول دنیا كه در دانشگاه‌هایی مثل پرینستون، بركلی، MIT و موسسه تکنولوژی کالیفرنیا در آمریکا، واترلو در كانادا، ماكس پلانك در آلمان، ETH در سوییس و … درس خوانده‌اند و یا دوره پسا دکتری را گذرانده اند به ما ملحق شدند. كسانی هم كه از داخل و یا از دانشگاه‌های دیگر خارج از كشور جذب شده اند از نظر پژوهشی برجسته هستند. این در حالی است که اکثر دانشکده‌های دانشگاه‌های ما نشسته‌اند و منتظرند که افرادی پیدا شوند و برای جذب در آن دانشگاه‌ها تقاضا دهند.

دکتر نصیری:پیشنهاد جذب به تنهایی کافی نیست. محیط علمی، شرایط شغلی کنونی و افق آینده و حتی معیارهای ارزیابی هم بسیار مهم است. به علاوه در پیشنهاد جذب زمان هم مهم است، وقتی فردی در دانشگاهی با محیط علمی و شرایط شغلی مناسب مستقر شد دیگر شانس زیادی برای جذب او باقی نمانده است. در این توفیق پژوهشگاه هم قطعاً این موارد موثر بوده است.

آیا موانعی در ساختار دانشگاهی ما برای جذب آنها وجود دارد؟

دکتر افتخاری:شاید ذكر یك مثال در اینجا مفید باشد. و آن اینكه اگر دکتر میرزاخانی در ایران تشریف داشتند با سبک امتیازدهی و آیین‌نامه ارتقا اعضای هیات علمی وزارت علوم و روال دانشگاه‌ها شاید تنها در مرتبه استادیاری می‌ماندند!!! این در حالی كه ایشان  سال‌هاست که به شایستگی استاد تمام دانشگاه استنفورد هستند. به عبارت دیگر معیارهای فعلی در ایران ارزشی واقعی برای كیفیت مقالات – در برابر كمیت آنها – قائل نیستند. به طور کلی فضای پژوهشی داخل کشور مشوق رفتن به سمت كیفیت نیست و گویی قانون‌گذار حتی پتانسیل حركت به سمت پژوهش‌های عمیق و اثرگذار را در جامعه علمی ندیده است.  برای رسیدن به مرحله ای که بتوان مقاله‌ای در بهترین مجلات ریاضی دنیا چاپ کرد، باید چند سال مطالعه و تحقیق کرد تا در نهایت منجر به چاپ یك مقاله اصیل شود. آیا شرایط برای چنین سرمایه‌گذاری زمانی‌ای در ایران فراهم است؟ به بیان رسمی‌، نظام آموزشی و پژوهشی ما درگیری با مسایل عمیق تحقیقاتی را رکود علمی تلقی می‌کند و آیین‌نامه‌های وزارت علوم برای ارتقای اعضای هیات علمی عملکردی مشابه عملكرد این ستارگان دنیای ریاضیات را قابل قبول نمی‌دانند.

 

از طرفی متاسفانه طی این سالها افرادی که از یك منظر فداکاری کردند و یا برای تحصیلات دوره دكتری- با وجود فراهم بودن شرایط- در داخل ایران ماندند و یا در خارج از كشور تحصیل کرده و به ایران بازگشته اند در داخل سیستم آموزشی و پژوهشی فعلی به شدت تحت فشار هستند. به عنوان مثال از بین نزدیک به ۲۰ نفر از مدال آوران المپیاد‌های ریاضی که یا در ایران مانده و تحصیل کرده‌اند و یا پس از تحصیل به كشور برگشته اند و در حال حاضر در دانشکده‌های ریاضی كشور مشغول فعالیت هستند تا جایی كه اطلاع دارم بیش از سه نفر به مرحله به رسمی-آزمایشی نرسیده اند و بقیه همه در وضعیت پیمانی مانده‌اند. در فضایی که می‌توان در میدان انقلاب مقاله خرید، چه اتفاقی رخ داده است که این افراد نتوانستند به جایگاه واقعی خود برسند؟

دکتر نصیری:شاید این انتقادات درباره معیارهای ارزشیابی مورد اقبال برخی قرار نگیرد اما همین مثال مشخص (برندگان جایزه فیلدز) اثبات می‌کند که معیارها و روش‌های جاری در شناخت كیفیت پژوهش‌ها بسیار ناكارآمدند. چه کسی می‌تواند مدعی این باشد که فعالیت این برندگان جایزه فیلدز کم‌‌اهمیت است و یا دریافت مرتبه استادی دانشگاه‌های ما در شان آنها نیست؟  اینکه بهترین دانشگاه‌های دنیا حاضرند برای جذب این افراد هر هزینه‌ای را تقبل كنند را مقایسه کنید با اینکه اکثر این افراد اگر در دانشگاه‌های ما بودند با معیار آیین‌نامه‌های ما حتی در طی مراحل استخدامی و ارتقا دچار مشکل می‌شدند. بنابراین معیارهای ما كه بسیاری از پژوهشگران (با هر كیفیتی از کار) هم از طریق آنها ارتقا می‌یابند آنچنان با جامعیت فاصله دارند که نمی‌توانند بهترین ریاضیدانان جهان را حتی در حد یك استاد متوسط و یا ضعیف برآورد كنند.

خوشبختانه نشانه‌هایی از این دغدغه‌ها در جامعه بروز کرده است. باید تلاش کرد تا روزی در درون جامعه علمی ایران شاهد رشد و حضور بزرگانی مانند دکتر میرزاخانی باشیم.

زمینه آشنایی شما با دکتر میرزاخانی از کجا شروع شد؟

دکتر افتخاری:دکتر میرزاخانی ورودی سال ۱۳۷۴ دانشگاه صنعتی شریف بودند و من سال ۱۳۷۶ وارد دانشگاه شدم. اما دو سال آخر دبیرستان که در تیم المپیاد دانش‌آموزی ریاضی بودم ایشان از مدرسان دوره المپیاد بودند. بعد از ورود به دانشگاه هم در برخی درس‌ها مانند هندسه جبری که کمتر در دانشگاه ارائه می‌شد همکلاس شدیم. در برخوردهای علمی من با وی اگر نگویم باهوش‌ترین فرد، از باهوش‌ترین افرادی بودند که در دورانی که با ریاضیات سروکار داشته ام در ایران و خارج دیده‌ام.

استعداد فوق‌العاده وی با چند فاکتور دیگر همراه شد که در موفقیت شان تاثیرگذار  بود. یکی از این خصوصیات استمرار در یادگیری و علاقه وافر در یادگیری است. ایشان خیلی پشتكار یادگیری دارند و در حال حاضر هم سعی می‌کنند حوزه‌ها و تکنیک‌های جدیدی را در ریاضیات فرا بگیرند به طوری که همزمان هندسه جبری، آنالیز مختلط و سیستم‌های دینامیکی را خوب می‌دانند و با آنها كار می‌كنند.

نوع تحقیقاتی كه دکتر میرزاخانی انجام می‌دهند احتیاج به این دارد که بخش قابل توجهی از ریاضیات را خیلی خوب بلد باشید.  افرادی با این خصوصیت خیلی کم پیدا می‌شوند.  متاسفانه در جامعه ریاضی ایران به شکل برعکس اتفاق می‌افتد و برخی افراد کل زندگی علمی‌شان را منحصر به مسئله‌ای می‌کنند که چندان نیازی به یادگیری ریاضی غنی هم ندارد.

نکته دیگر داشتن استاد راهنمای برجسته است؛ مک مولن استاد راهنمای دوره دکتری میرزاخانی که یکی از برندگان جایزه فیلدز هم است ، معلم  بسیار فوق العاده‌ای است که در رشد دکتر میرزاخانی بسیار موثر بوده است. همچنین ایشان در تحقیقات خود با برجسته‌ترین محققان ریاضی مانند اسکین همکاری کرده‌اند.

 

گفتگو: امیربامه/ پریسا نیازی

No tags for this post.